James Bond's scientist, you know the guy who invents all the cool gadgets for him, is code-named Q. Maybe the Q is for Quantum. Or maybe not. But, the next James Bond movie will be called "Quantum of Solace".
I'm a bit scared.
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Thursday, January 24, 2008
Saturday, December 01, 2007
El post que todo blogero postea en algún momento
En todo blog que he leido, en algun momento su autor pone un post que lee algo asi:
No voy a poner un mensaje así, pues,
1) esta trillado ya,
2) a nadie les importan esos,
3) he estado blogeando, asi que no he ofendido a nadie.
Aun asi, aquí incluyo una lista de excusas que podría usar para excusarme si alguien se siente ofendido, olvidado o que no he llenado sus espectativas en los ultimos meses.
-He estado entrenando en un templo Shaolín para fortalecer mis testiculos para hacerlos invulnerables a patadas. En el monasterio no tienen internet.
-Yo era El Asesino de Ajedrez.
-Estoy dandole apoyo técnico a Avelino con sus nuevos proyectos.
-Estoy estudiando la mitologia de la yegua extraterrestre en los tiempos coloniales.
-He estado ocupado corriendo una linea de tripeo a personas que hacen suicidios de esos de call-for-attention.
-He estado haciendo descubrimientos cientificos que cambiaran el conocimiento humano para siempre.
-Estoy estudiando gastronomia molecular.
-He conseguido un segundo trabajo para darle apoyo economico a mi hijo realengo llamdo Perfidio que finalmente reconoci.
-Me voy para Iraq.
-He estado entrenando para mi carrera profesional como Chessboxer. Con mis habilidades en el ajedrez, y mi puertorriqueñidad, me hare campeón mundial pronto. Mis promotores son Don King y Kasparov. Don King esta tratando de ayudar a Kasparov con los problemitas legales en los que se metio con Putin, y luego trataran de coordinar mi primera pelea profesional.
-He estado tratando de terminar un doctorado en fisica teorica y luego conseguirme un trabajo en alguna institucion educacional, preferiblemente de renombre.
-He practicado para romper el record Guiness de Pana Manipulation.
No tengo que suplicarles de que sean pacientes conmigos, nada de "stay tunned" ni mierdas asi; pues luego de años de publicación Jala^2 sigue fuerte, es más, debería llamarse ya Jala^15 pq cada vez esto jala más y más.
Que Titi Chagua bendiga Jala-Jala!
Reconozco que tengo olvidado el blog hace meses, pero es que estoy ocupado con cosas de la vida real. Prometo que pronto regresare a blogear frecuentemente
No voy a poner un mensaje así, pues,
1) esta trillado ya,
2) a nadie les importan esos,
3) he estado blogeando, asi que no he ofendido a nadie.
Aun asi, aquí incluyo una lista de excusas que podría usar para excusarme si alguien se siente ofendido, olvidado o que no he llenado sus espectativas en los ultimos meses.
-He estado entrenando en un templo Shaolín para fortalecer mis testiculos para hacerlos invulnerables a patadas. En el monasterio no tienen internet.
-Yo era El Asesino de Ajedrez.
-Estoy dandole apoyo técnico a Avelino con sus nuevos proyectos.
-Estoy estudiando la mitologia de la yegua extraterrestre en los tiempos coloniales.
-He estado ocupado corriendo una linea de tripeo a personas que hacen suicidios de esos de call-for-attention.
-He estado haciendo descubrimientos cientificos que cambiaran el conocimiento humano para siempre.
-Estoy estudiando gastronomia molecular.
-He conseguido un segundo trabajo para darle apoyo economico a mi hijo realengo llamdo Perfidio que finalmente reconoci.
-Me voy para Iraq.
-He estado entrenando para mi carrera profesional como Chessboxer. Con mis habilidades en el ajedrez, y mi puertorriqueñidad, me hare campeón mundial pronto. Mis promotores son Don King y Kasparov. Don King esta tratando de ayudar a Kasparov con los problemitas legales en los que se metio con Putin, y luego trataran de coordinar mi primera pelea profesional.
-He estado tratando de terminar un doctorado en fisica teorica y luego conseguirme un trabajo en alguna institucion educacional, preferiblemente de renombre.
-He practicado para romper el record Guiness de Pana Manipulation.
No tengo que suplicarles de que sean pacientes conmigos, nada de "stay tunned" ni mierdas asi; pues luego de años de publicación Jala^2 sigue fuerte, es más, debería llamarse ya Jala^15 pq cada vez esto jala más y más.
Que Titi Chagua bendiga Jala-Jala!
Friday, November 09, 2007
Chessboxing
Combining two of my favorite human activities, chessboxing matches two opponents taking turns in the ring and in the checkered board. Yes, this is a real sport brought to you by Russians.
It is a battle of intellectual stamina while you brain gets pummeled. It is a challenge of keeping your body ready to snap a punch after you have been concentrated on chess.
Not to be confused with Battle Chess Karate, which is to chessboxing what WWE is to boxing.
The rules are simple: six rounds of speed chess interlaced with five three-minute rounds in the ring. Each competitor has 12 minutes in total on the chess timer. Victory is by knockout, checkmate or resignation, or failing any of those, by points-based scoring system.
It is a battle of intellectual stamina while you brain gets pummeled. It is a challenge of keeping your body ready to snap a punch after you have been concentrated on chess.
Not to be confused with Battle Chess Karate, which is to chessboxing what WWE is to boxing.
Thursday, September 27, 2007
Relojes Japoneses
La historia de Japón ha girado alrededor de sus relaciones con el exterior de extremo a extremo. Por un lado se aislan y le tiran cañonazos a los religiosos que vengan a visitar, por el otro abrazan la cultura occidental hasta alcanzar niveles caricaturescos.
Hace 300 años fueron los holandeses a jangear alla, y de regalo trajeron un preciso reloj de péndulo. El reloj no servia como los japoneses querían, es más, ni tenía sentido. Japon siendo primeramente agricultor usaban un sistema de tiempo variable, de salida a puesta de sol lo dividian en 12 horas de día, de puesta a salida en 12 horas de noche. Esto hacia que el largo de una hora reflejara la estación en que estaban, y facilitaba estimar la hora viendo el sol. Definitivamente un reloj como los que usamos actualmente (y como el que le dieron los holandeses) no tiene sentido en una comunidad agricultora.
Cuando los portugueses empezaron a joder mucho con su catolicismo, los japoneses los crucificaron y/o botaron del pais cerrandose a los europeos. En este periodo reinterpretaron y expandieron muchas tecnologicas, incluyendo modificar aquel reloj mecánico holandés para adaptar el largo de la hora conforme a la epoca del año.
Algunas fotos de estos extraños relojes pueden ser encotrados aqui.
Mi favorito es el siguiente.
Este reloj combina un calendario con la hora. Un marcador baja para indicar la hora. Al llegar abajo, uno le da cuerda y lo sube arriba de nuevo, y la aguja del marcador automaticamente se mueve a la derecha (o izquierda) dependiendo la fecha. En la imagen agrandad se puede notar como las marcas de la hora no son recta, si no arquedas para compenzar por el largo de las horas en diferentes epocas. Es un mecanismo bastante complejo considerando que fue hecho hace casi 300 años atras.
Hace 300 años fueron los holandeses a jangear alla, y de regalo trajeron un preciso reloj de péndulo. El reloj no servia como los japoneses querían, es más, ni tenía sentido. Japon siendo primeramente agricultor usaban un sistema de tiempo variable, de salida a puesta de sol lo dividian en 12 horas de día, de puesta a salida en 12 horas de noche. Esto hacia que el largo de una hora reflejara la estación en que estaban, y facilitaba estimar la hora viendo el sol. Definitivamente un reloj como los que usamos actualmente (y como el que le dieron los holandeses) no tiene sentido en una comunidad agricultora.
Cuando los portugueses empezaron a joder mucho con su catolicismo, los japoneses los crucificaron y/o botaron del pais cerrandose a los europeos. En este periodo reinterpretaron y expandieron muchas tecnologicas, incluyendo modificar aquel reloj mecánico holandés para adaptar el largo de la hora conforme a la epoca del año.
Algunas fotos de estos extraños relojes pueden ser encotrados aqui.
Mi favorito es el siguiente.
Este reloj combina un calendario con la hora. Un marcador baja para indicar la hora. Al llegar abajo, uno le da cuerda y lo sube arriba de nuevo, y la aguja del marcador automaticamente se mueve a la derecha (o izquierda) dependiendo la fecha. En la imagen agrandad se puede notar como las marcas de la hora no son recta, si no arquedas para compenzar por el largo de las horas en diferentes epocas. Es un mecanismo bastante complejo considerando que fue hecho hace casi 300 años atras.
Wednesday, June 13, 2007
Donde en el mundo estoy? X
Si, la violinista y yo conectamos de una forma extraña y profunda, lo admito. No se como describirlo, pero era un sentimiendo de ser extraños y a la vez conocernos bien.
Se que este post suena como la pelicula esa de Before Sunrise, pero en realidad era mas platonico, mas extenso y mas intenso. Ah, y en vez de caminar por las hermosas calles de Vienna, caminabamos entre las montañas de basura napolitanas. Pero en realidad no era algo sexual, ni flirteo, ni romantico.
Luego de la noche anterior pasar tanto tiempo hablando de afinacion de instrumentos, de fisica, en la mañana ambos sabiamos que nos encontrariamos para desayunar. No lo acordamos, pero a ninguno de los dos le quedaba duda de que nos encontrariamos. Pasamos la mañana en silencio en la terraza del hostal: yo en mis ecuaciones, y ella en su libro de ficcion que esta escribiendo. Era muy comodo para ambos estar sentados por varias horas, enfocados, sin hablar nada. Era un silencio delicioso que nos unia en una conspiracion de musa.
La musa hizo que se nos olvidara comer hasta tarde, y fuimos a comprarnos unas pizzas y cervezas. Caminamos al muelle, y trepamos unas rocas para llegar a donde las olas daban duro. Alli nos comimos nuestra comida mientras hablabamos de la muerte, de la inspiracion, de la escala del universo, de impactar gente, de la historia de los tomates, y de Pierrot Lunaire.
Napoli habia ganado el juego de futbol, y la ciudad cricalosa exploto en un descojon de celebracion. Vimos dos carros que chocaron, se gritaron mucho, dieron para atras, y siguieron como si nada celebrando. Nos perdimos en la multitud de gente y logramos escapar a un parque tranquilo donde hablamos de Jesus Christ Vampire Hunter, de las presiones externas acerca de que significa ser exitoso, de las religiones donde la fe no es un componente principal, del tamaño de las ciudades, de las algebras no comutativas, de los vegetarianos, de Ray Barretto, del diseño grafico, y del impacto de otra gente.
Cuando nos dimos cuenta de lo tarde que era, ella materializo una libreta y boligrafo, anotamos temas de los que no pudimos hablar suficiente, y que tendriamos que discutir en el futuro. Sacamos ademas nuestros mp3 players, e hicimos una seleccion de canciones importantes que intercambiar y discutir luego.
Todo esto pasaba bajo la confianza mas grande posible, al punto que pudimos hablar comodamente que esto no era un flirteo sexual, que en realidad era algo bien platonico, emocionante, extraño pero que se sentia normal. No fue solo lo facil que se nos hacia hablar de tantas cosas siendo personas tan diferentes, si no ademas lo comodo que nos sentiamos al estar en silencio tambien. "Smalltalk is for chumps", fue como ella lo resumio.
Ya de madrugada, y luego de varias cervezas mas acordamos que que Bach es el mejor, y que Mozart no nos mueve (menos sus operas); que derritan los saxofones del mundo y que hagan mas trombones; que el reguero de Napoli es hermoso; que pa'l carajo todo el mundo que no ha sido visitado por Las Musas. "To Bach and Syncopation" fue el brindis de la noche.
Esa seria mi ultima mañana en Napoli, y al encontrarnos para desayunar decidimos caminar un rato, aunque significara que llegaria tarde a la universidad a mi ultima reunion de trabajo antes de irme. Nos dimos un abrazo de despedida, y uno dijo "this was great" y el otro dijo "we will keep in touch".
Y en la universidad no me podia concentrar reunido con mi jefe, en el autobus aun cuando tuvo el accidente que me dejo con el codo medio adolorido yo seguia con la mente perdida, en el tren a Roma, durante mi ultimo gelatto en Italia, en mis aviones y largas esperas en aeropuertos seguia con la mente ida, y en mi sueño malo luego de tanto jetlag. No pensaba en ella, ni en que debimos hacer algo mas, ni que tal vez nos veamos de nuevo en el futuro. Solo pensaba que luego de conectar asi con alguien uno se siente bien solo.
Se que este post suena como la pelicula esa de Before Sunrise, pero en realidad era mas platonico, mas extenso y mas intenso. Ah, y en vez de caminar por las hermosas calles de Vienna, caminabamos entre las montañas de basura napolitanas. Pero en realidad no era algo sexual, ni flirteo, ni romantico.
Luego de la noche anterior pasar tanto tiempo hablando de afinacion de instrumentos, de fisica, en la mañana ambos sabiamos que nos encontrariamos para desayunar. No lo acordamos, pero a ninguno de los dos le quedaba duda de que nos encontrariamos. Pasamos la mañana en silencio en la terraza del hostal: yo en mis ecuaciones, y ella en su libro de ficcion que esta escribiendo. Era muy comodo para ambos estar sentados por varias horas, enfocados, sin hablar nada. Era un silencio delicioso que nos unia en una conspiracion de musa.
La musa hizo que se nos olvidara comer hasta tarde, y fuimos a comprarnos unas pizzas y cervezas. Caminamos al muelle, y trepamos unas rocas para llegar a donde las olas daban duro. Alli nos comimos nuestra comida mientras hablabamos de la muerte, de la inspiracion, de la escala del universo, de impactar gente, de la historia de los tomates, y de Pierrot Lunaire.
Napoli habia ganado el juego de futbol, y la ciudad cricalosa exploto en un descojon de celebracion. Vimos dos carros que chocaron, se gritaron mucho, dieron para atras, y siguieron como si nada celebrando. Nos perdimos en la multitud de gente y logramos escapar a un parque tranquilo donde hablamos de Jesus Christ Vampire Hunter, de las presiones externas acerca de que significa ser exitoso, de las religiones donde la fe no es un componente principal, del tamaño de las ciudades, de las algebras no comutativas, de los vegetarianos, de Ray Barretto, del diseño grafico, y del impacto de otra gente.
Cuando nos dimos cuenta de lo tarde que era, ella materializo una libreta y boligrafo, anotamos temas de los que no pudimos hablar suficiente, y que tendriamos que discutir en el futuro. Sacamos ademas nuestros mp3 players, e hicimos una seleccion de canciones importantes que intercambiar y discutir luego.
Todo esto pasaba bajo la confianza mas grande posible, al punto que pudimos hablar comodamente que esto no era un flirteo sexual, que en realidad era algo bien platonico, emocionante, extraño pero que se sentia normal. No fue solo lo facil que se nos hacia hablar de tantas cosas siendo personas tan diferentes, si no ademas lo comodo que nos sentiamos al estar en silencio tambien. "Smalltalk is for chumps", fue como ella lo resumio.
Ya de madrugada, y luego de varias cervezas mas acordamos que que Bach es el mejor, y que Mozart no nos mueve (menos sus operas); que derritan los saxofones del mundo y que hagan mas trombones; que el reguero de Napoli es hermoso; que pa'l carajo todo el mundo que no ha sido visitado por Las Musas. "To Bach and Syncopation" fue el brindis de la noche.
Esa seria mi ultima mañana en Napoli, y al encontrarnos para desayunar decidimos caminar un rato, aunque significara que llegaria tarde a la universidad a mi ultima reunion de trabajo antes de irme. Nos dimos un abrazo de despedida, y uno dijo "this was great" y el otro dijo "we will keep in touch".
Y en la universidad no me podia concentrar reunido con mi jefe, en el autobus aun cuando tuvo el accidente que me dejo con el codo medio adolorido yo seguia con la mente perdida, en el tren a Roma, durante mi ultimo gelatto en Italia, en mis aviones y largas esperas en aeropuertos seguia con la mente ida, y en mi sueño malo luego de tanto jetlag. No pensaba en ella, ni en que debimos hacer algo mas, ni que tal vez nos veamos de nuevo en el futuro. Solo pensaba que luego de conectar asi con alguien uno se siente bien solo.
Donde en el mundo estoy? IX
Yo queria ir a fiestar. Estaba cansado de todo el dia de hacer fisica, y necesitaba fiestar. Fui al lobby del hostal, y nadie queria comprometerse a salir. Reno, el canadiense, y a La Capitana, Italiana, dijeron que si conseguia mas gente ellos iban. Es el problema de masa critica: todos saldrian, pero nadie quiere comprometerse primero. Si hacia un grupo suficientemente grande, se unirian mas.
Asi que convenci a el encargado de turno en el Hostal de que me dejara usar el microfono del Hostal para hacer un anuncio a todo el mundo. Convenci ademas a otra gente, y usamos el microfono para invitar a todo el hostal que bajaran a fiestar en Español, Ingles, Italiano y Portuges.
Funciono. Fuimos un grupo de 10 personas a fiestar, y termine bailando como un loco con la estudiante de medicina de Georgia, una gringa alta y flaca de una cara preciosa.
A las 9am ya estaba en la universidad de nuevo. No, no pude ir a Capri: mi jefe no me dejo irme a turistiquear, asi que tuve que estar con resaca trabajando. Fue un dia increiblemente productivo y emocionante, y adelantamos muchisimo en la investigacion.
Otro grupo del hostal fuimos a darnos unas birras, y ahi fue que conoci a la Violinista Canadiense quien aclaro todas mis dudas acerca de como uno afina un violin con un piano. Resulta que el violin si se puede afinar con Just Intonation, mientras que el piano tiene los problemas de afinacion que habia explicado en un post anterior.
Asi que convenci a el encargado de turno en el Hostal de que me dejara usar el microfono del Hostal para hacer un anuncio a todo el mundo. Convenci ademas a otra gente, y usamos el microfono para invitar a todo el hostal que bajaran a fiestar en Español, Ingles, Italiano y Portuges.
Funciono. Fuimos un grupo de 10 personas a fiestar, y termine bailando como un loco con la estudiante de medicina de Georgia, una gringa alta y flaca de una cara preciosa.
A las 9am ya estaba en la universidad de nuevo. No, no pude ir a Capri: mi jefe no me dejo irme a turistiquear, asi que tuve que estar con resaca trabajando. Fue un dia increiblemente productivo y emocionante, y adelantamos muchisimo en la investigacion.
Otro grupo del hostal fuimos a darnos unas birras, y ahi fue que conoci a la Violinista Canadiense quien aclaro todas mis dudas acerca de como uno afina un violin con un piano. Resulta que el violin si se puede afinar con Just Intonation, mientras que el piano tiene los problemas de afinacion que habia explicado en un post anterior.
Thursday, April 12, 2007
Just Intonation is the eigen-Key
My last post talked about the mathematical theory of tuning and how the accepted music tuning is just an approximation. The limitations of a fixed (discrete) amount of keys in a musical instrument impose conditions on the continuum of musical harmonics that are realistically resolved by having not-quite-perfect tunnings.
The perfect, idealized, precise and correct tuning is called Just Intonation.
Electronic music doesn't have the limitations that a real instrument have, and it can be tuned using Just Intonation. If you want to learn more about it, this is a good primer. If you want to hear how it sounds, here it is.
The differences are very small and hard to detect to the "usual" intonation. But, just consider the possibilities of an utopia of so many musical tones living together in the ultimate perfect harmony. Can you imagine a 61st harmonic living with the 137th one? That would be beautiful.
The perfect, idealized, precise and correct tuning is called Just Intonation.
Electronic music doesn't have the limitations that a real instrument have, and it can be tuned using Just Intonation. If you want to learn more about it, this is a good primer. If you want to hear how it sounds, here it is.
The differences are very small and hard to detect to the "usual" intonation. But, just consider the possibilities of an utopia of so many musical tones living together in the ultimate perfect harmony. Can you imagine a 61st harmonic living with the 137th one? That would be beautiful.
Monday, April 09, 2007
The eigen-Key to the Piano
I am not a musician. In fact, my knowledge of music is very limited and anything I might have picked from listening to Bach (which was triggered from reading G.E.B.) is probably ruined from listening to Progressive Rock. I am a physicist, and that grants me the arrogance to attack any problem with the math tools I love so much. Sometimes this method is successful, sometimes it is not. But I'm stubborn and I use it a lot.
I have always looked at the piano (as a tangible projection of music theory) and wondered how come you got black and white keys in the following manner.
I was expecting a repeating pattern, but why does it repeat at the 8th white keys? Why are the black keys grouped in that form? After studying this, and punching a few numbers on my handy calculator, I think I have come up with an explanation that makes sense to me. If you are a sonographer, a soundtitian or a musicneer (I'm looking at you, readers that went to El Conservatorio), and can illuminate/correct/expand my interpretation, please do so.
Let's turn to Pitagoras, wave mechanics, and the vibrating string. Imagine a string hanging by its ends, like a very tight clothes lines. If plucked, it will vibrate at certain frequencies. The standing vibrations follow harmonics, that is, waves with wavelengths that are integer multiples of the length of the clothes line.
The red one only has one hump, this is called the fundamental (first) harmonic. The green one has two humps, and it is exactly 1/2 the length of the first harmonic. This is what makes it a second harmonic. The blue one has three humps, making it the third harmonic, each hump of 1/3 the length. No political affiliations should be interpreted from the colors of these graphs. More harmonics can exists, but these ones were the most dominant ones for Pitagoras' purposes. There are others of interest, such as the fourth (or twice and 2), and the ninth (or thrice as the third one). What is important to note is that since all these harmonics can coexist in a string and create new sounds that sound great with each other.
Now, since Pitagoras identified the 1/2 length and the 1/3 length of the wavelength as important, when will their multiples match? That is, if I took 1/2 of 1/2, and then 1/2 of that, and then again, all these would be also harmonics. If I took 1/3 of 1/3 and so on, they would also be valid harmonics. Will the wavelengths of the multiples of the second and third harmonic ever match? In other words:
which integer values of m and n will make this equality true? Well, there is a solution that its very close to it:
See? Keep this numbers, 5 and 8, in the back of your head, we will see them again.
Now, in the keyboard above, the red spot corresponds to a fundamental frequency, the green spot to its second harmonic, and the blue one to its third harmonic. The first and second harmonic are exactly 8 keys apart and when played together they sound so well that I can't really differentiate that there are two sounds. The second and third are 5 keys apart, and when played together they also sound really well. The magic numbers 5 and 8 appeared! That is, the subdivisions of white keys were chosen to represent the multiples of these harmonics. In other words, if you started on the piano and pressed every 8th key you will be moving along the multiples of 2 of the second harmonic. If starting on the same point as before you pressed every 5th key, you would be moving on the multiples of 3 of the second harmonic. At one point, (5*8=40 keys later), there will be a key where both harmonics match.
Yes, but what about the black keys? Well, let's do a similar exercise but starting with every key inside the octave, for a total of 8*8=64. If we were going to find the key that matches for each of these second harmonics with a third harmonic, or which k would make 5*k=8*8=64?. We solve this and obtain
or 13 different tones! If we count the number of keys, both white and black, from the red spot (the fundamental harmonic) to the green spot (the second harmonic), we will see that, yes, there are 13 of them! The keyboard of the piano does make sense!
Now now, you might have caught me cheating. I'm approximating a bunch of stuff, nothing is exact. Will this matter? The answer is yes, it does matter. This is a problem when tuning instruments, and historically it has been resolved in many different ways, adding the little errors here or there to try to keep things consistent. For most practical purposes, we won't notice this as there is a very small difference to start with.
But, I can envision a situation where we could detect this, where the errors would add up in a way that we could hear. Imagine a pipe organ, a huge one, that has a sufficiently long register, or enough keys and pedals. If we played a particular key at a somewhat low octave, and the same key in a much much much higher octave, we should be able to tell that they aren't perfectly tuned. In fact, we would hear beats. But beats are a subject for another time.
I have always looked at the piano (as a tangible projection of music theory) and wondered how come you got black and white keys in the following manner.
I was expecting a repeating pattern, but why does it repeat at the 8th white keys? Why are the black keys grouped in that form? After studying this, and punching a few numbers on my handy calculator, I think I have come up with an explanation that makes sense to me. If you are a sonographer, a soundtitian or a musicneer (I'm looking at you, readers that went to El Conservatorio), and can illuminate/correct/expand my interpretation, please do so.
Let's turn to Pitagoras, wave mechanics, and the vibrating string. Imagine a string hanging by its ends, like a very tight clothes lines. If plucked, it will vibrate at certain frequencies. The standing vibrations follow harmonics, that is, waves with wavelengths that are integer multiples of the length of the clothes line.
The red one only has one hump, this is called the fundamental (first) harmonic. The green one has two humps, and it is exactly 1/2 the length of the first harmonic. This is what makes it a second harmonic. The blue one has three humps, making it the third harmonic, each hump of 1/3 the length. No political affiliations should be interpreted from the colors of these graphs. More harmonics can exists, but these ones were the most dominant ones for Pitagoras' purposes. There are others of interest, such as the fourth (or twice and 2), and the ninth (or thrice as the third one). What is important to note is that since all these harmonics can coexist in a string and create new sounds that sound great with each other.
Now, since Pitagoras identified the 1/2 length and the 1/3 length of the wavelength as important, when will their multiples match? That is, if I took 1/2 of 1/2, and then 1/2 of that, and then again, all these would be also harmonics. If I took 1/3 of 1/3 and so on, they would also be valid harmonics. Will the wavelengths of the multiples of the second and third harmonic ever match? In other words:
which integer values of m and n will make this equality true? Well, there is a solution that its very close to it:
See? Keep this numbers, 5 and 8, in the back of your head, we will see them again.
Now, in the keyboard above, the red spot corresponds to a fundamental frequency, the green spot to its second harmonic, and the blue one to its third harmonic. The first and second harmonic are exactly 8 keys apart and when played together they sound so well that I can't really differentiate that there are two sounds. The second and third are 5 keys apart, and when played together they also sound really well. The magic numbers 5 and 8 appeared! That is, the subdivisions of white keys were chosen to represent the multiples of these harmonics. In other words, if you started on the piano and pressed every 8th key you will be moving along the multiples of 2 of the second harmonic. If starting on the same point as before you pressed every 5th key, you would be moving on the multiples of 3 of the second harmonic. At one point, (5*8=40 keys later), there will be a key where both harmonics match.
Yes, but what about the black keys? Well, let's do a similar exercise but starting with every key inside the octave, for a total of 8*8=64. If we were going to find the key that matches for each of these second harmonics with a third harmonic, or which k would make 5*k=8*8=64?. We solve this and obtain
or 13 different tones! If we count the number of keys, both white and black, from the red spot (the fundamental harmonic) to the green spot (the second harmonic), we will see that, yes, there are 13 of them! The keyboard of the piano does make sense!
If you are modulus-inclined, things will make a lot more sense if you work out the above in terms of modulus arithmetic.
Now now, you might have caught me cheating. I'm approximating a bunch of stuff, nothing is exact. Will this matter? The answer is yes, it does matter. This is a problem when tuning instruments, and historically it has been resolved in many different ways, adding the little errors here or there to try to keep things consistent. For most practical purposes, we won't notice this as there is a very small difference to start with.
But, I can envision a situation where we could detect this, where the errors would add up in a way that we could hear. Imagine a pipe organ, a huge one, that has a sufficiently long register, or enough keys and pedals. If we played a particular key at a somewhat low octave, and the same key in a much much much higher octave, we should be able to tell that they aren't perfectly tuned. In fact, we would hear beats. But beats are a subject for another time.
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